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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Para cada una de las siguientes sucesiones, proponga el término general $a_{n}$ y clasifique las mismas en convergentes o divergentes.
c) $1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{4}, \ldots$
c) $1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{4}, \ldots$
Respuesta
La secuencia proporcionada se caracteriza por tener términos que son los recíprocos de los números naturales, alternando en signo. Es claramente una secuencia alternante, donde los términos positivos corresponden a índices impares y los términos negativos a índices pares. El término general de esta secuencia puede ser expresado mediante el uso de exponentes negativos para alternar los signos:
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Fijate ahora que tenemos términos que son muy parecidos a los de la sucesión anterior, o sea que algún $\frac{1}{n}$ va a tener que haber por ahí, pero la diferencia clave es que va alternando el signo. Necesitamos que los términos tengan signo positivo si $n$ es impar y signo negativo si $n$ es par. Eso lo podemos lograr agregando el término $(-1)^{n+1}$. Fijate que esto vale $1$ si $n$ es par y $-1$ si $n$ es impar, nos viene perfecto. Entonces:
$ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n} $
Veamos si es convergente o no, tomamos límite cuando $n$ tiende a infinito:
$ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 0$
Veamos que el denominador \( n \) se va a infinito, mientras que el numerador alterna entre $1$ y $-1$ (números!), por lo tanto esto se va a estar yendo a $0$. Decimos entonces que la sucesión es convergente.